Какой вектор называется суммой двух векторов, правило треугольника сложения векторов

Правило суммы векторов – Сумма векторов | Треугольники

Вектор. Правило сложение векторов | Подготовка к ЕГЭ по математике

Здесь рассматриваем вектора на плоскости.

Основные определения

Вектором называется направленный отрезок , где точка – начало, точка – конец вектора.

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало совпадает с концом.

Векторы и называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены.

Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы и называются противоположно направленными.

Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора обозначают .

Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозначается как .

Сложение векторов

Сложение векторов и по правилу треугольника

Суммой двух векторов и называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец – с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают.

Сложение векторов и по правилу параллелограмма

Если два неколлинеарных вектора и привести к общему началу, то вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . Причем начало вектора совпадает с началом заданных векторов.

Смотрите также «Вектора. Часть 2».

math-public:vektory-slozhenie-vychitanie [Президентский ФМЛ №239]

Правило треугольника

Вектор $overrightarrow$ называется суммой векторов $vec$ и $vec$.

Определение

Суммой двух векторов называется вектор, полученный по правилу треугольника.

Теорема

Определение суммы векторов корректно, то есть сумма векторов не зависит от выбора точки $A$.

Доказательство

Так как $overrightarrow=overrightarrow$, то по теореме ref имеем $overrightarrow=overrightarrow$.

Аналогично из равенства $overrightarrow=overrightarrow$ следует, что $overrightarrow=overrightarrow$.

Но из этого равенства по той же теореме ref следует, что $overrightarrow=overrightarrow$.

Правило параллелограмма

Если $ABCD$ – параллелограмм, то $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$

Доказательство

Так как $ABCD$ – параллелограмм, то $overrightarrow=overrightarrow$. Следовательно, $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$.

Свойства сложения векторов

Доказательство

Первой свойство очевидно.

Докажем второе свойство.

Рассмотрим первый случай.

Отложим их от точки $A$: $overrightarrow=a$ и $overrightarrow=b$ – и построим на этих векторах параллелограмм $ABCD$ (рис. ref a).

Рассмотрим второй случай.

Докажем, что $overrightarrow=overrightarrow$.

Вектора $overrightarrow$ и $overrightarrow$ очевидно сонаправлены, кроме того их модули равны $|vec|+|vec|$.

Следовательно, эти вектора равны.

Пусть кроме того $|vec|>|vec|$.

Таким образом модули векторов $overrightarrow$ и $overrightarrow$ равны, кроме того они сонаправлены, следовательно, $overrightarrow=overrightarrow$.

Докажем третий пункт теоремы.

Правило цепочки

При любом расположении точек $A_1, A_2, A_3, ldots, A_n$ верно равенство $overrightarrow+overrightarrow+ldots+overrightarrowA_n>=overrightarrow$

Определение

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположны по направлению. Ноль-вектор считается противоположным самому себе (рис. ref).

Читайте также:
Крупные города Германии: сколько людей в них проживает, особенности страны

Теорема

Доказательство

Докажем первый пункт.

Докажем второй пункт.

Разность векторов

Следствие

Теорема

Доказательство

По правилу треугольника $overrightarrow=overrightarrow+overrightarrow$.

Кроме того $overrightarrow=-overrightarrow=-vec$.

math-public/vektory-slozhenie-vychitanie.txt · Последние изменения: 2016/10/26 13:28 — labreslav

Сумма нескольких векторов | Формулы и расчеты онлайн

Сумма нескольких векторов а1, а2, а3, … , аn, это вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному вектору прибавляется вектор а

Из определения вытекает такое построение

Сумма нескольких векторов

Правило многоугольника или правило цепи

Из произвольного начала О строим вектор ОА1 = а1, из точки А1, как из начала, строим вектор А1А2 = а2, из точки А2 строим вектор А2А3 = а3 и т.д. Вектор ОАn (на рисунке n = 6) есть сумма векторов а1, а2, … , аn.

Свойство сочетательности

Слагаемые векторы можно группировать как угодно.

Так, если найти сначала сумму векторов

и к ней прибавить вектор а1 (ОА1), то получим то же вектор:

Правило параллелепипеда

Если три вектора а, b, с после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости, то сумму а+b+c можно найти таким построением:

Правило параллелепипеда — Сумма нескольких векторов

Из любого начала О строим векторы ОА = а, ОВ = b, ОС = с, на отрезках ОА, ОВ, ОС, как на ребрах, строим параллелепипед. Вектор диагонали OD есть сумма векторов a, b, и c (так как ОА = а, АК = ОВ = b, KD = OC = c и OD = OA + AK + KD).

В помощь студенту

Сумма нескольких векторов

Какой вектор называется суммой двух векторов

Для правильного отображения законов природы в физике требуется соответствующий математический инструментарий.

В геометрии и физике есть величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением.

Их целесообразно изображать направленными отрезками или векторами.

У таких величин есть начало (отображается точкой) и конец, обозначаемый стрелкой. Длина отрезка называется модулем (длиной).

  • скорость;
  • ускорение;
  • импульс;
  • сила;
  • момент;
  • силы;
  • перемещение;
  • напряженность поля и др.

Это интересно: как переводить градусы в радианы?

Координаты на плоскости

Зададим на плоскости отрезок, направленный из точки, А (x1,y1) в точку В (x2,y2). Его координатами a (a1, a2) являются числа а1=x2-x1, а2=y2-y1.

Модуль рассчитывается по теореме Пифагора:

У нулевого вектора начало совпадает с концом. Координаты и длина равны 0.

Сумма векторов

Существуют несколько правил для расчета суммы

  • правило треугольника;
  • правило многоугольника ;
  • правило параллелограмма.

Правило сложения векторов можно объяснить на задачах из динамики и механики. Рассмотрим сложение векторов по правилу треугольника на примере сил, воздействующих на точечное тело и последовательных перемещений тела в пространстве.

Допустим, тело переместилось сначала из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. Итоговое перемещение есть отрезок, направленный от начальной точки A к конечной точке C.

Читайте также:
Энтропия - что это такое: объяснение простыми словами, значение термина в разных областях науки, примеры

Результат двух перемещений или их сумма s = s1+ s2. Такой способ называется правилом треугольника.

Стрелки выстраивают в цепочку одну за другой, при необходимости осуществляя параллельный перенос. Суммарный отрезок замыкает последовательность. Его начало совпадает с началом первого, конец — с концом последнего. В иностранных учебниках данный метод называется «хвост к голове».

Координаты результата c = a + b равны сумме соответствующих координат слагаемых c (a1+ b1, a2+ b2).

Сумма параллельных (коллинеарных) векторов также определяется по правилу треугольника.

Если два исходных отрезка перпендикулярны друг другу, то результат их сложения представляет собой гипотенузу построенного на них прямоугольного треугольника. Длина суммы вычисляется по теореме Пифагора.

Примеры:

  • Скорость тела, брошенного горизонтально, перпендикулярна ускорению свободного падения.
  • При равномерном вращательном движении линейная скорость тела перпендикулярна центростремительному ускорению.

Сложение трех и более векторов производят по правилу многоугольника, «хвост к голове»

Предположим, что к точечному телу приложены силы F1 и F2.

Опыт доказывает, что совокупное воздействие этих сил равнозначно действию одной силы, направленной по диагонали построенного на них параллелограмма. Эта равнодействующая сила равна их сумме F = F1 + F 2. Приведенный способ сложения называется правилом параллелограмма.

Длина в этом случае вычисляется по формуле

, где θ — угол между сторонами.

Правила треугольника и параллелограмма взаимозаменяемы. В физике чаще применяют правило параллелограмма, так как направленные величины сил, скоростей, ускорений обычно приложены к одному точечному телу. В трехмерной системе координат применяется правило параллелепипеда.

Обратите внимание: что такое луч в геометрии.

Элементы алгебры

  1. Сложение является двоичной операцией: за один раз можно сложить только пару.
  2. Коммутативность: сумма от перестановки слагаемых не изменяется a + b = b + a. Это ясно из правила параллелограмма: диагональ всегда одна и та же.
  3. Ассоциативность: сумма произвольного числа векторов не зависит от порядка их сложения (a + b)+ c = a +(b + c).
  4. Суммирование с нулевым вектором не меняет ни направление, ни длину: a +0= a .
  5. Для каждого вектора есть противоположный. Их сумма равна нулю a +(-a)=0, а длины совпадают.

Вычитание направленного отрезка равносильно прибавлению противоположного. Координаты равны разности соответствующих координат. Длина равна:

Для вычитания можно использовать видоизмененное правило треугольника.

Умножение на скаляр

Результатом умножения на скаляр будет вектор.

Координаты произведения получаются перемножением на скаляр соответствующих координат исходного.

Скаляр — числовая величина со знаком плюс или минус, больше или меньше единицы.

Примеры скалярных величин в физике:

  • масса;
  • время;
  • заряд ;
  • длина;
  • площадь;
  • объем;
  • плотность;
  • температура;
  • энергия.

Примеры:

  • Перемещение равномерно движущегося тела равно произведению времени и скорости s = vt .
  • Импульс тела — масса, умноженная на скорость p = mv .
  • Второй закон Ньютона. Произведение массы тела на ускорение равно приложенной равнодействующей силе ma=F.
  • Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле, пропорциональна заряду F = qE.
Читайте также:
Что такое клеточный центр, где находится и его значение для деления клеток

Скалярное произведение направленных отрезков a и b равно произведению модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных отрезков равно нулю.

Пример:

Работа является скалярным произведением силы и перемещения A = Fs .

Линейные операции над векторами, формулы и примеры

Рассмотрим два ненулевых вектора и .

1. Сложение (сумма) векторов

Замечание. Если начало вектора не совпадает с концом вектора , то от конца вектора надо отложить вектор , равный вектору (рис. 2).

Правило треугольника сложения векторов. Если конец вектора совпадает с началом вектора , то суммой этих векторов есть вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 3).

Правило параллелограмма сложения векторов. Если два неколлинеарных вектора и имеют общее начало (рис. 4), то суммой этих вектор есть вектор, имеющий общее начало с указанными векторами и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах и .

Сложение векторов обладают переместительным и распределительным свойствами:

Если векторы и заданы своими координатами, например, на плоскости, , тогда суммой этих векторов есть вектор , координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов-слагаемых:

2. Разность векторов

Противоположным вектором к некоторому вектору называется вектор, противоположно направленный данному и имеющий такую же длину.

Замечание. Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора , который является противоположным вектору :

Чтобы построить геометрически разность векторов и , необходимо совместить начала этих векторов (то есть от одной точки отложить равные им векторы и ), тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора , а конец – с концом вектора , и будет искомой разностью (рис. 5).

Если векторы и заданы своими координатами: , то их разностью есть вектор , координаты которого равны разности соответствующих координат векторов и :

3. Умножение вектора на число

Произведением вектора на число называется вектор , модуль которого , причем вектор будет сонаправлен с вектором , если , и противоположно направлен в случае, если .

Произведением вектора на число называется вектор, полученный из исходного умножением его каждой координаты на число :

Сумма и разность векторов

Для векторов a и b определим:

3). Умножение вектора a на число k вектор с координатами k · ax ; k · ay> и обозначаемый как k · a.

Сумма векторов

Сумму a+b векторов a и b можно вычислить по правилу параллелограммов.

Сперва сделаем чертеж этих векторов:

Для вычисления суммы a+b разместим начало вектора a на начало вектора b :

Теперь дополним эту схему до параллелограмма:

Сумма a+b будет вектор начало которого совпадает с началом вектора a а конец с концом вектора b:

По последней схеме сумма a+b равна диагонали параллелограмма поэтому это правило называется правилом параллелограмм.

Разность векторов

Разность a –b векторов a и b вычисляется по правилу треугольника:

Для этого сначала начертим эти векторы:

Читайте также:
Рельеф Западно-Сибирской равнины: тектоническая структура, ледниковые формы

Объединим концы векторов a и b:

Разность a– b будет вектор у которого конец совпадает с началом вектора a а начало с началом вектора b:

Сложение векторов — 16 Сентября 2015 — Примеры решений задач

Имеется калькулятор сложения (вычитания) векторов

В случае задачи на плоскости сумму и разность векторов

можно найти воспользовавшись следующими формулами:

Сложение векторов геометрия:

1) По правилу треугольника;

2) По правилу параллелограмма.

Пример 1. Найти сумму векторов a и b, заданных координатами a=(-2,6), b=(5,3). Решение изобразить графически.

Решение. Вставляем в калькулятор (-2,6)+(5,3), получаем аналитическое и графическое решение.

Пример 2. Найти разность векторов a и b, заданных координатами a=(-2,6), b=(5,3). (Обратите внимание, координаты вектора разделяем запятой)

Решение. Вставляем в калькулятор (-2,6) — (5,3), получаем аналитическое и графическое решение.

Пример 3. Вычислить 2a + 3b , заданных координатами a=(-2,6), b=(5,3). Выполнить геометрически.

Решение. Вставляем в калькулятор 2(-2,6)+3(5,3), получаем аналитическое и графическое решение.

Аналогичные формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач.

В случае пространственной задачи сумму и разность векторов

можно найти воспользовавшись следующими формулами:

С помощью данного калькулятора можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения вектора на число для пространственных задач.

Урок 2. Сумма двух векторов. Правило треугольника. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма. Сумма нескольких векторов

Конспект
Рассмотрим ситуацию.
Стартовав из пункта A, туристы прошли 4 километра на запад, а затем 3 километра на север. В результате этих двух перемещений туристы переместились из пункта А в пункт С. Поэтому результирующее перемещение можно представить вектором (AC) ⃗. Перемещение из пункта А в пункт С складывается из перемещения из пункта А в пункт В и перемещения из пункта В в пункт С, поэтому вектор (AC) ⃗ естественно назвать суммой векторов (AB) ⃗ и (BC) ⃗.
Этот пример приводит нас к понятию суммы векторов: (AB) ⃗+ (BC) ⃗= (AC) ⃗
Даны два вектора: a ⃗ и b ⃗. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор (AB) ⃗, равный вектору a ⃗.
(AB) ⃗ = a
Затем от точки В отложим вектор (BC) ⃗, равный вектору b ⃗.
(BC) ⃗ = b ⃗.
Вектор (AC) ⃗ называется суммой векторов a ⃗ и b ⃗.
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.
(AC) ⃗ = a ⃗ + b ⃗.
Правило треугольника можно сформулировать следующим образом: для произвольных точек А, В и С сумма векторов (AB) ⃗и (BC) ⃗ равна вектору (AC) ⃗: (AB) ⃗+ (BC) ⃗= (AC) ⃗.
Складывая по правилу треугольника произвольный вектор a ⃗ с нулевым вектором, получаем, что для любого вектора a ⃗ справедливо равенство a ⃗ + 0 ⃗ = a .
Докажем законы сложения векторов: переместительный и сочетательный.
От произвольной точки А отложим векторы (AB) ⃗, равный вектору и вектор (AD) ⃗, равный вектору b ⃗.
(AB) ⃗ = a ⃗, (AD) ⃗ = b ⃗.
На векторах (AB) ⃗ и (AD) ⃗ построим параллелограмм АВСD.

Читайте также:
Положение материка Северная Америка: координаты, крайние точки, история открытия

По правилу треугольника вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AB) ⃗и (BC) ⃗. С другой стороны, вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AD) ⃗ и () ⃗.

(AC) ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ = a ⃗ + b ⃗.
(AC) ⃗ = (AD) ⃗ + (DC) ⃗ = b ⃗ +(a) ⃗.
a ⃗ + b ⃗= b ⃗ + (a) ⃗ (переместительный закон)
При доказательстве переместительного закона сложения векторов мы обосновали правило сложения неколлинеарных векторов – правило параллелограмма.
Чтобы сложить неколлинеарные векторы a ⃗ и b ⃗, нужно выбрать произвольную точку и отложить от неё векторы, равные данным. На этих векторах построить параллелограмм. Вектор с началом в выбранной точке и являющийся диагональю параллелограмма, будет суммой данных векторов a ⃗ и b ⃗.
Докажем ещё одно свойство сложения векторов: сочетательный закон.
Выберем произвольную точку А и отложим от неё вектор (AB) ⃗, равный(a) ⃗, от точки В – вектор (BC) ⃗, равный вектору b ⃗, а от точки С – вектор (CD) ⃗, равный вектору c ⃗.

Пользуясь правилом треугольника, найдём значения суммы трёх данных векторов.
(a ⃗ + b ⃗) + c ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AD) ⃗.
Найдём сумму этих же векторов, изменив порядок действий.
Построим сумму векторов b ⃗ и c ⃗, а затем к вектору a ⃗ прибавим получившийся результат.
a ⃗+ (b ⃗+ c ⃗) = (AB) ⃗+ ((BC) ⃗ + (CD) ⃗) = (AB) ⃗ + (BD) ⃗ = (AD) ⃗.
Мы доказали, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
При сложении нескольких векторов пользуются правилом многоугольника: при сложении векторов их последовательно откладывают один за другим, так чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов.
p ⃗ = (a1) ⃗+ (a2) ⃗ + (a3) ⃗ + (a4) ⃗+ (a5) ⃗

Сумма и разность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

  • Сумма векторов
    • Формула сложения векторов
    • Свойства сложения векторов
    • Формула вычитания векторов

    Сумма векторов

    Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

    Правило треугольника для сложения векторов

    Геометрическая интерпретация:

    Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

    Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

    Правило параллелограмма для сложения векторов

    Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

    Формула сложения векторов

    Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

    ” data-lang=”default” data-override=”” data-merged=”[]” data-responsive-mode=”2″ data-from-history=”0″>
    Для плоских задач a + b = x + bx; ay + by>” data-order=”a + b = x + bx; ay + by>” style=”min-width:55.0847%; width:55.0847%;”> a + b = x + bx; ay + by>
    Для трехмерных задач a + b = x + bx; ay + by; az + bz>” data-order=”a + b = x + bx; ay + by; az + bz>“> a + b = x + bx; ay + by; az + bz>
    Для n-мерных векторов a + b = 1 + b1; a2 + b2; . an + bn>” data-order=”a + b = 1 + b1; a2 + b2; . an + bn>“> a + b = 1 + b1; a2 + b2; . an + bn>

    Свойства сложения векторов

    1. Коммутативность: a + b = b + a

    2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

    3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

    4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0

    Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

    Разность векторов

    Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

    Правило треугольника для вычитания векторов

    Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

    Формула вычитания векторов

    Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

    Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

    Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

    А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
    Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

    Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

    Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

    Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

    Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

    a

    Вот другой пример.
    Автомобиль движется из A в B . Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .

    Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

    До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

    Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
    Теперь мы знакомимся с векторами.

    Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

    А вот понятие равенства для векторов есть.
    Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
    Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

    Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
    Вектор также задается двумя координатами:

    Здесь в скобках записаны координаты вектора – по x и по y .
    Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

    Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

    Сложение векторов

    Для сложения векторов есть два способа.

    1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

    Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

    2 . Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

    По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

    Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий — перемещение из А в F .

    При сложении векторов и получаем:

    Вычитание векторов

    Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

    Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и – это сумма вектора и вектора .

    Умножение вектора на число

    При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

    Скалярное произведение векторов

    Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

    Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

    Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

    Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
    А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

    Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

    Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

    В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
    Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

    Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

    Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

    — Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
    — 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
    — Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
    — Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
    — 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
    — Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
    — Личный кабинет.

    Линейные операции над векторами

    Рассмотрим два ненулевых вектора и .

    Линейные операции над векторами

    1. Сложение (сумма) векторов

    Замечание. Если начало вектора не совпадает с концом вектора , то от конца вектора надо отложить вектор , равный вектору (рис. 2).

    Сложение (сумма) векторов

    Правило треугольника сложения векторов. Если конец вектора совпадает с началом вектора , то суммой этих векторов есть вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 3).

    Правило треугольника сложения векторов. рис 3

    Правило треугольника сложения векторов. рис 4

    Правило параллелограмма сложения векторов. Если два неколлинеарных вектора и имеют общее начало (рис. 4), то суммой этих вектор есть вектор, имеющий общее начало с указанными векторами и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах и .

    Сложение векторов обладают переместительным и распределительным свойствами:

    [bar{a}+bar{b}=bar{b}+bar{a}, left(bar{a}+bar{b}right)+bar{c}=bar{a}+left(bar{b}+bar{c}right)]

    Для любых точек имеет место векторное равенство

    bar{a}=left(a_{1} ;; a_{2} right), bar{b}=left(b_{1} ;; b_{2} right)

    Если векторы и заданы своими координатами, например, на плоскости, , тогда суммой этих векторов есть вектор , координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов-слагаемых:

    [bar{c}=bar{a}+bar{b}=left(a_{1} ;; a_{2} right)+left(b_{1} ;; b_{2} right)=left(a_{1} +b_{1} ;; a_{2} +b_{2} right)]

    Задание Найти сумму векторов и
    Решение Суммой заданных векторов будет вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов и :

    [bar{a}+bar{b}=left(-1;; 0;; 2right)+left(1;; -3;; 1right)=left(-1+1;; 0+left(-3right), ;; 2+1right)=left(0;; -3;; 3right)]

    2. Разность векторов

    Противоположным вектором к некоторому вектору называется вектор, противоположно направленный данному и имеющий такую же длину.

    Замечание. Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

    Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора , который является противоположным вектору :

    Чтобы построить геометрически разность векторов и , необходимо совместить начала этих векторов (то есть от одной точки отложить равные им векторы и ), тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора , а конец – с концом вектора , и будет искомой разностью (рис. 5).

    Для векторов и , имеющих общее начало, имеет место векторное равенство:

    bar{a}=left(a_{1} ;; a_{2} right), bar{b}=left(b_{1} ;; b_{2} right)

    Если векторы и заданы своими координатами: , то их разностью есть вектор , координаты которого равны разности соответствующих координат векторов и :

    [bar{c}=bar{a}-bar{b}=left(a_{1} ;; a_{2} right)-left(b_{1} ;; b_{2} right)=left(a_{1} -b_{1} ;; a_{2} -b_{2} right)]

    Задание Найти разность векторов и
    Решение Чтобы найти вектор-разность необходимо от координат вектора отнять соответствующие координаты вектора , то есть

    [bar{a}-bar{b}=left(1;; -7right)-left(-1;; 2right)=left(1-left(-1right), ;; -7-2right)=left(2;; -9right)]

    3. Умножение вектора на число

    Произведением вектора на число называется вектор , модуль которого , причем вектор будет сонаправлен с вектором , если 0″ width=”45″ height=”12″ />, и противоположно направлен в случае, если .

    Произведением вектора на число называется вектор, полученный из исходного умножением его каждой координаты на число :

    [lambda bar{a}=lambda cdot left(a_{1} ;; a_{2} right)=left(lambda cdot a_{1} ;; lambda cdot a_{2} right)=left(lambda a_{1} ;; lambda a_{2} right)]

    Задание Известно, что вектор . Найти вектор .
    Решение Чтобы найти нужный вектор, умножим каждую координату исходного вектора на число :

    [2bar{a}=2cdot left(2;; 3right)=left(2cdot 2;; 2cdot 3right)=left(4;; 6right)]

    Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число , что имеет место равенство: .

    Какой вектор называется суммой двух векторов

    Законы сложения векторов

    Для правильного отображения законов природы в физике требуется соответствующий математический инструментарий.

    В геометрии и физике есть величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением.

    Их целесообразно изображать направленными отрезками или векторами.

    У таких величин есть начало (отображается точкой) и конец, обозначаемый стрелкой. Длина отрезка называется модулем (длиной).

    • скорость;
    • ускорение;
    • импульс;
    • сила;
    • момент;
    • силы;
    • перемещение;
    • напряженность поля и др.

    Координаты на плоскости

    Зададим на плоскости отрезок, направленный из точки, А (x1,y1) в точку В (x2,y2). Его координатами a (a1, a2) являются числа а1=x2-x1, а2=y2-y1.

    Координаты вектора

    Модуль вектора на плоскости

    Модуль рассчитывается по теореме Пифагора:

    У нулевого вектора начало совпадает с концом. Координаты и длина равны 0.

    Сумма векторов

    Существуют несколько правил для расчета суммы

    • правило треугольника;
    • правило многоугольника ;
    • правило параллелограмма.

    Правило сложения векторов можно объяснить на задачах из динамики и механики. Рассмотрим сложение векторов по правилу треугольника на примере сил, воздействующих на точечное тело и последовательных перемещений тела в пространстве.

    Допустим, тело переместилось сначала из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. Итоговое перемещение есть отрезок, направленный от начальной точки A к конечной точке C.

    Сложение перемещений

    Результат двух перемещений или их сумма s = s1+ s2. Такой способ называется правилом треугольника.

    Стрелки выстраивают в цепочку одну за другой, при необходимости осуществляя параллельный перенос. Суммарный отрезок замыкает последовательность. Его начало совпадает с началом первого, конец — с концом последнего. В иностранных учебниках данный метод называется «хвост к голове».

    Правило треугольника

    Координаты результата c = a + b равны сумме соответствующих координат слагаемых c (a1+ b1, a2+ b2).

    Сумма параллельных (коллинеарных) векторов также определяется по правилу треугольника.

    Если два исходных отрезка перпендикулярны друг другу, то результат их сложения представляет собой гипотенузу построенного на них прямоугольного треугольника. Длина суммы вычисляется по теореме Пифагора.

    Модуль вектора

    Примеры:

    • Скорость тела, брошенного горизонтально, перпендикулярна ускорению свободного падения.
    • При равномерном вращательном движении линейная скорость тела перпендикулярна центростремительному ускорению.

    Сложение трех и более векторов производят по правилу многоугольника, «хвост к голове»

    Правило многоугольника

    Предположим, что к точечному телу приложены силы F1 и F2.

    Сложение сил

    Опыт доказывает, что совокупное воздействие этих сил равнозначно действию одной силы, направленной по диагонали построенного на них параллелограмма. Эта равнодействующая сила равна их сумме F = F1 + F 2. Приведенный способ сложения называется правилом параллелограмма.

    Правило параллелограмма

    Длина в этом случае вычисляется по формуле

    Модуль суммы векторов из одной точки

    , где θ — угол между сторонами.

    Правила треугольника и параллелограмма взаимозаменяемы. В физике чаще применяют правило параллелограмма, так как направленные величины сил, скоростей, ускорений обычно приложены к одному точечному телу. В трехмерной системе координат применяется правило параллелепипеда.

    Обратите внимание: что такое луч в геометрии.

    Элементы алгебры

    1. Сложение является двоичной операцией: за один раз можно сложить только пару.
    2. Коммутативность: сумма от перестановки слагаемых не изменяется a + b = b + a. Это ясно из правила параллелограмма: диагональ всегда одна и та же.
    3. Ассоциативность: сумма произвольного числа векторов не зависит от порядка их сложения (a + b)+ c = a +(b + c).
    4. Суммирование с нулевым вектором не меняет ни направление, ни длину: a +0= a .
    5. Для каждого вектора есть противоположный. Их сумма равна нулю a +(-a)=0, а длины совпадают.

    Модуль суммы векторов из одной точки

    Вычитание направленного отрезка равносильно прибавлению противоположного. Координаты равны разности соответствующих координат. Длина равна:

    Для вычитания можно использовать видоизмененное правило треугольника.

    Разность векторов

    Умножение на скаляр

    Результатом умножения на скаляр будет вектор.

    Координаты произведения получаются перемножением на скаляр соответствующих координат исходного.

    Скаляр — числовая величина со знаком плюс или минус, больше или меньше единицы.

    Примеры скалярных величин в физике:

    • масса;
    • время;
    • заряд ;
    • длина;
    • площадь;
    • объем;
    • плотность;
    • температура;
    • энергия.

    Примеры:

    • Перемещение равномерно движущегося тела равно произведению времени и скорости s = vt .
    • Импульс тела — масса, умноженная на скорость p = mv .
    • Второй закон Ньютона. Произведение массы тела на ускорение равно приложенной равнодействующей силе ma=F.
    • Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле, пропорциональна заряду F = qE.

    Скалярное произведение направленных отрезков a и b равно произведению модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных отрезков равно нулю.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: