Вычитание векторов и правила вычитания

Линейные операции над векторами

Пусть даны два вектора называется суммой векторов . Это нахождение суммы называется правилом треугольника .

Сумму двух неколлинеарных векторов правилу параллелограмма . Для этого откладываем от любой точки векторы и , а затем строим параллелограмм (рис. 1.7,6). Диагональ

Для нахождения суммы нескольких векторов можно построить ломаную из равных им векторов. Тогда замыкающий вектор, соединяющий начало первого вектора ломаной с концом последнего ее вектора, равен сумме всех векторов ломаной. На рис.1.7,в изображена сумма четырех векторов . Таким способом ( правило ломаной ) можно сложить любое конечное число векторов. Заметим, что сумма векторов не зависит от точек приложения слагаемых и от порядка суммирования. Например, “выстраивая цепочку” векторов для суммы в виде . Если ломаная получилась замкнутой, то сумма равна нулевому вектору.

Вычитание векторов

Вектор называется противоположным вектору . Противоположный вектор имеет длину , коллинеарен и противоположно направлен вектору

Разностью векторов , противоположным вектору

Для нахождения разности векторов и , а также вектор , противоположный вектору

Для нахождения разности проще использовать правило треугольника (рис. 1.9,6). Для этого прикладываем к произвольной точке и . Вектор

Вычитание векторов — действие, обратное сложению — можно определить также следующим образом: разностью векторов

Пример 1.2. Для векторов, изображённых на рис. 1.6 (в конце), найти следующие суммы и разности:

Решение. Учитывая равенство .

Поскольку и , то .

По правилу параллелограмма . Так как и , находим

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) длина вектора равна , т.е. ;

Произведение нулевого вектора на любое число ; произведение любого вектора на число нуль также считается нулевым вектором: . Из определения произведения следует, что:

а) при умножении на единицу вектор не изменяется: ;

б) при умножении вектора на ;

в) деление вектора на отличное от нуля число сводится к его умножению на число , обратное .

г) при делении ненулевого вектора получаем единичный вектор, одинаково направленный с вектором равна единице: .

Вектор коллинеарен и одинаково направлен с вектором ;

д) при умножении единичного вектора на число .

На рис.1.10 изображены векторы, получающиеся в результате умножения данного вектора и , а также противоположный вектор .

Свойства линейных операций над векторами

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами . Для любых векторов справедливы равенства:

Свойства 1, 2 выражают коммутативность и ассоциативность операции сложения векторов, свойство 5 — ассоциативность операции умножения на число, свойства 6,7 — законы дистрибутивности, свойство 8 называется унитарностью.

Свойства линейных операций устанавливают такие же правила действия с векторами, как с алгебраическими выражениями.

Линейные комбинации векторов

Применяя линейные операции, можно составлять суммы векторов, умноженных на числа.

Вектор линейной комбинацией векторов , если он может быть представлен в виде

где — некоторые числа. В этом случае говорят, что вектор , а числа называют коэффициентами разложения.

Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.

Отметим следующие свойства линейных комбинаций векторов:

1. Если векторы — коллинеарны, то любая их линейная комбинация им коллинеарна.

2. Если векторы — компланарны, то любая их линейная комбинация им компланарна.

Докажем, например, первое свойство. При умножении вектора на число получаем (по определению) вектор, колпинеарный данному. При сложении двух векторов, параллельных некоторой прямой, получаем (по определению) вектор, параллельный той же самой прямой. Поэтому линейная комбинация двух коллинеарных векторов и коллинеарна им. По индукции свойство распространяется на любое конечное число коллинеарных
векторов.

Вычитание векторов

Рассмотрим два вектора и (рис. 1).

Разностью двух векторов и называется такой третий вектор , сумма которого с вектором равна вектору :

Если задан вектор , то можно построить противоположный ему вектор , равный по длине, но противоположно направленный. Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

Таким образом, разность можно записать в следующем виде:

То есть разность двух векторов равна сумме уменьшаемого и вектора, противоположного вычитаемому.

Правило треугольника для разности векторов

Чтобы графически продемонстрировать разность векторов, необходимо отложить от произвольной точки вектор , из его начала вектор . Тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора , а конец – с концом вектора , и будет искомым вектором разности (рис. 2).

Правило параллелограмма разности векторов

Если два неколлинеарных вектора и имеют общее начало (рис. 3), то разностью этих вектор есть вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах и , причем начало этой диагонали совпадает с концом вектора , а конец – с концом вектора .

Примеры вычитания векторов

Задание	Найти вектор , если и
Решение	Вначале найдем координаты векторов и . Для этого умножим каждую координату векторов и на два и три соответственно:

Тогда искомый вектор

Задание	Найти координаты вектора , если , , ,
Решение	Вначале найдем координаты векторов и . Для этого от координат конца вектора (точки и ) необходимо отнять соответствующие координаты его начала (точки и соответственно):

Тогда для нахождения координат вектора разности , от координат вектора вычтем соответствующие координаты вектора :

Сумма и разность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Сумма векторов

Формула сложения векторов
Свойства сложения векторов

Формула вычитания векторов

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

” data-lang=”default” data-override=”” data-merged=”[]” data-responsive-mode=”2″ data-from-history=”0″>

Для плоских задач	a + b = x + b_x; a_y + b_y>” data-order=”a + b = x + b_x; a_y + b_y>” style=”min-width:55.0847%; width:55.0847%;”> a + b = x + b_x; a_y + b_y>
Для трехмерных задач	a + b = x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z>” data-order=”a + b = x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z>“> a + b = x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z>
Для n-мерных векторов	a + b = 1 + b₁; a₂ + b₂; . a_n + b_n>” data-order=”a + b = 1 + b₁; a₂ + b₂; . a_n + b_n>“> a + b = 1 + b₁; a₂ + b₂; . a_n + b_n>

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0

Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

Формула вычитания векторов

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

Найти длину разности векторов

В математике и физике студентам и школьникам зачастую попадаются задачи на векторные величины и на выполнение различных операций над ними. В чём же отличие векторных величин от привычных нам скалярных, единственная характеристика которых — это численное значение? В том, что они обладают направлением.
[block >

Определения векторной математики

Введём главные определения, используемые при выполнении линейных операций.

Вектором называют направленный (имеющий точку начала и точку конца) отрезок.
Длина (модуль) — это длина направленного отрезка.
Коллинеарными называют такие два вектора, которые либо параллельны одной и той же прямой, либо одновременно лежат на ней.
Противоположно направленными векторами называют коллинеарные и при этом направленные в разные стороны. Если же их направление совпадает, то они являются сонаправленными.
Вектора являются равными, когда они сонаправлены и одинаковы по модулю.
Суммой двух векторов a и b является такой вектор c, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго при условии, что b начинается в той же точке, в которой заканчивается a.
Разностью векторов a и b называют сумму a и (—b), где (—b) — противоположно направленный к вектору b. Также определение разности двух векторов может быть дано следующее: разностью c пары векторов a и b называют такой c, который при сложении с вычитаемым b образует уменьшаемое a.

Аналитический метод

Аналитический способ подразумевает получение координат разности по формуле без построения. Возможно выполнить вычисление для плоского (двухмерного), объёмного (трёхмерного) или же n-мерного пространства.

Для двухмерного пространства и векторных величин a и b расчёты будут иметь следующий вид: c = .

В случае с добавлением третьей координаты расчёт будет проводиться аналогично, и для a и b координаты разности будут также получены попарным вычитанием: c = .

Вычисление разности графически

Для того чтобы построить разность графическим способом, следует воспользоваться правилом треугольника. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:

По заданным координатам построить векторы, для которых нужно найти разность.
Совместить их концы (т. е. построить два направленных отрезка, равных заданным, которые будут оканчиваться в одной и той же точке).
Соединить начала обоих направленных отрезков и указать направление; результирующий будет начинаться в той же точке, где начинался вектор, являющийся уменьшаемым, и заканчиваться в точке начала вычитаемого.

[block > Результат операции вычитания показан на рисунке ниже.

Также существует метод построения разности, незначительно отличающийся от предыдущего. Его суть заключается в применении теоремы о разности векторов, которая формулируется следующим образом: для того чтобы найти разность пары направленных отрезков, достаточно найти сумму первого из них с отрезком, противоположно направленным ко второму. Алгоритм построения будет иметь следующий вид:

Построить исходные направленные отрезки.
Тот, что является вычитаемым, необходимо отразить, т. е. построить противоположно направленный и равный ему отрезок; затем совместить его начало с уменьшаемым.
Построить сумму: соединить начало первого отрезка с концом второго.

Результат такого решения изображён на рисунке:

Решение задач

Для закрепления навыка разберём несколько заданий, в которых требуется рассчитать разность аналитически или графически.

Задача 1. На плоскости заданы 4 точки: A (1; —3), B (0; 4), C (5; 8), D (—3; 2). Определить координаты вектора q = AB — CD, а также рассчитать его длину.

Решение. Вначале следует найти координаты AB и CD. Для этого из координат конечных точек вычтем координаты начальных. Для AB началом является A (1; —3), а концом — B (0; 4). Рассчитаем координаты направленного отрезка:

Аналогичный расчёт выполняется для CD:

Теперь, зная координаты, можно найти разность векторов. Формула для аналитического решения плоских задач была рассмотрена ранее: для c = a — b координаты имеют вид = . Для конкретного случая можно записать:

Чтобы найти длину q, воспользуемся формулой | q | = √(q₁² + q₂²) = √((— 9)² + (— 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.
[block > Задача 2. На рисунке изображены векторы m, n и p.

Необходимо построить для них разности: p — n; m — n; m — n — p. Выяснить, какая из них обладает наименьшим модулем.

Решение. В задаче требуется выполнить три построения. Рассмотрим каждую часть задания более подробно.

Часть 1. Для того чтобы изобразить p — n, воспользуемся правилом треугольника. Для этого при помощи параллельного переноса соединим отрезки так, чтобы совпала их конечная точка. Теперь соединим начальные точки и определим направление. В нашем случае вектор разности начинается там же, где и вычитаемый n.

Часть 2. Изобразим m — n. Теперь для решения воспользуемся теоремой о разности векторов. Для этого следует построить вектор, противоположный n, а затем найти его сумму с m. Полученный результат будет выглядеть так:

[block > Часть 3. Для того чтобы найти разность m — n — p, следует разбить выражение на два действия. Поскольку в векторной алгебре действуют законы аналогичные законам арифметики, то возможны варианты:

m — (n + p): в этом случае вначале строится сумма n + p, которая затем вычитается из m;
(m — n) — p: здесь сначала нужно найти m — n, а затем отнять от этой разности p;
(m — p) — n: первым действием определяется m — p, после чего из полученного результата нужно вычесть n.

Так как в предыдущей части задачи мы уже нашли разность m — n, нам остаётся лишь вычесть из неё p. Построим разность двух данных векторов при помощи теоремы о разности. Ответ показан на изображении ниже (красным цветом обозначен промежуточный результат, а зелёным — окончательный).

Остаётся определить, модуль какого из отрезков является наименьшим. Вспомним, что понятия длины и модуля в векторной математике являются идентичными. Оценим визуально длины p — n, m — n и m — n — p. Очевидно, что самым коротким и обладающим наименьшим модулем является ответ в последней части задачи, а именно m — n — p.
[block > [block >

Как найти разность векторов

Формула

Примеры нахождения разности векторов

Задание. Найти разность векторов $bar-bar$, где $bar=(3 ; 0)$ и $bar=(1 ; 2)$

Решение. Для нахождения разности векторов $bar$ и $bar$, вычтем их соответствующие координаты:

Решение. Для нахождения искомой разности векторов вычтем их соответствующие координаты:

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Поможем выполнить
любую работу

Все еще сложно?

Наши эксперты помогут разобраться

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?

Сумма и разность векторов

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Геометрическая интерпретация:

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

Формула вычитания векторов

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

Вычитание векторов

Вычитание векторов — это арифметическое действие в геометрии, при котором из одного вектора отнимают другой.

Чтобы вычесть (overrightarrow b) из (overrightarrow а) , нужно найти такой (overrightarrow с) , сложение которого с вектором (overrightarrow b) составляло бы (overrightarrow а) .

Таким образом, формула разности будет выглядеть так:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(overrightarrow а-overrightarrow b=overrightarrow а+left(-overrightarrow bright))

Если задан (overrightarrow а) , то можно построить противоположный ему (-overrightarrow а) , равный по длине, но противоположно направленный. Тогда происходит сведение двух противоположно направленных векторов к нулевому:

(overrightarrow а+left(-overrightarrow аright)=0)

Как производится вычитание векторов по координатам

Если необходимо произвести вычитание векторов по координатам, то следует просто вычесть соответствующие точки. То есть если из (overrightarrow а) отнимается (overrightarrow b) , то из X₁ отнимаем X_2, из Y₁ Y₂ и из Z₁ Z₂.

Проиллюстрируем координатное пространство:

Основные правила вычисления

Для того, чтобы найти значение разности векторов, можно использовать несколько способов.

Правило треугольника

Чтобы графически продемонстрировать разность, необходимо отложить от произвольной точки вектор (overrightarrow а) , из его начала (overrightarrow b) . Тогда вектор, начало которого совпадает с концом ( overrightarrow b) , а конец — с концом (overrightarrow a) , и будет искомым вектором разности (overrightarrow a;-;overrightarrow b) . Проиллюстрируем это:

Правило параллелограмма

Если два неколлинеарных, то есть непараллельных вектора (overrightarrow а) и (overrightarrow b) имеют общее начало, то их разностью является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на (overrightarrow а) и (overrightarrow b) , причем начало этой диагонали совпадает с концом (overrightarrow b) , а конец — с концом (overrightarrow а) .

Если векторы (overrightarrow а) и (overrightarrow b) заданы в некотором промежутке:

(overrightarrow a=left(а_1;а_2right),;overrightarrow b=left(b_1;b_2right))

то, чтобы найти координаты их разности (overrightarrow a;-;overrightarrow b) , необходимо от точек (overrightarrow a) отнять соответствующие точки (overrightarrow b) :

(overrightarrow a;-;overrightarrow b=left(a_1;a_2right)-left(b_1;b_2right)=left(a_1-b_1;a_2-b_2right))

Проиллюстрируем правило многоугольника:

Примеры задач на понятие разности векторов

Задача 1

Дано

(overrightarrow a;=left(2;-1right),;overrightarrow b=left(0;2right))

Найти: (overrightarrow с=2overrightarrow a-3overrightarrow b;)

Решение

Найдем координаты (2overrightarrow a) и (3overrightarrow b) . Для этого умножим каждую на два и три:

(2overrightarrow а=2timesleft(2;-1right)=left(2times2;2timesleft(-1right)right)=left(4;-2right), 3overrightarrow b=3timesleft(0;2right)=left(3times0;3times2right)=left(0;6right))

Тогда искомый вектор:

(overrightarrow с=2overrightarrow a-3overrightarrow b=left(4;-2right)-left(0;6right)=left(4-0;;-2-6right)=left(4;-8right))

Ответ: (overrightarrow с=left(4;-8right).)

Задача 2

Дано

Найти: координаты (overrightarrow-overrightarrow.)

Решение

Для начала найдем проекции (overrightarrow) и (overrightarrow) .

Для этого от координат конца вектора, то есть точек B и D, нужно отнять соответствующие проекции его начала, то есть точек А и С.

Тогда для нахождения координат разности (overrightarrow-overrightarrow) , от координат первого вычтем координаты второго:

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора – по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2 . Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий — перемещение из А в F .

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и – это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.